Geometria e Algebra Lineare

Nozioni ed enunciati

• Spazio vettoriale reale
• Lista
• Sistema di generatori
• Base
• Teorema spettrale
• Teorema fondamentale di Rouché - Capelli
• Teorema della base
• Teorema delle dimensioni
• Teorema di rappresentazione
• Criteri di diagonalizzabilità

Sottospazi vettoriali

L’esercizio chiede la dimensione di un sottospazio, e può presentare insiemi di vettori in due forme:

1. Rappresentazione tramite equazioni lineari: in questo caso ci conviene costruire un sistema lineare omogeneo e tradurlo in matrice. Potrebbero presentarsi equazioni con termini di grado maggiore di uno, quindi non lineari: è un tranello e vanno scartate a prescindere.
2. Rappresentazione tramite span di vettori: ci basta costruire una matrice con i vettori forniti come vettori colonna. In entrambi i casi ci ritroveremo con una matrice, e trovando la dimensione del suo kernel arriveremo al risultato (dimensione dello spazio delle soluzioni). A questo punto possiamo applicare una riduzione a scala per trovare il suo rango. Trovato il rango, la dimensione è deducibile dal teorema delle dimensioni: $\dim KerA=n-rkA$

Spettro e diagonalizzazione

L’esercizio si basa sul teorema spettrale, e chiede di trovare una matrice che permetta la diagonalizzazione di una matrice data $A$.

• Controlla che $A$ sia simmetrica
• Cerca gli autovalori di $A$, tramite il polinomio caratteristico
• A questo punto possiamo fermarci e semplicemente testare le matrici date: eseguendo la formula di diagonalizzazione $Q^{T}AQ=\Delta$, ottenuta $\Delta$ ci basta controllare che sulla diagonale compaiano gli autovalori trovati; in caso contrario, testa la prossima matrice.

Determinante

Le proprietà da ricordare sono:

• Se il determinante non è nullo:
  • equivale a dire che le righe/colonne di $A$ sono linearmente indipendenti (7)
  • equivale a dire che il rango è uguale all’ordine $n$
• Se una riga/colonna viene moltiplicata per uno scalare, il determinante viene anch’esso moltiplicato per quello scalare (1).
  • Di conseguenza, dato l’ordine $n$ della matrice, $\det (\alpha A)={\alpha }^n\det (A)$.
  • In caso di $\alpha =-1$, $n$ pari lascia il segno del determinante invariato e viceversa per $n$ dispari.
• Il determinante di $A$ è identico a quello della sua trasposta
• Il determinante dell’inversa di $A$ è il reciproco di quello di $A$

Passaggio alla base canonica

L’esercizio fornirà una base $\mathbf{B}$ e un vettore $[\underline{u}{]}_{\mathbf{B}}$ con le coordinate rispetto alla base data. Per trovare il vettore espresso rispetto alla base canonica, ci basta costruire una matrice avente come colonne gli elementi della base data, e moltiplicandola per il vettore dato otterremo $\underline{u}$.

Invertibilità e diagonalizzazione

Gli esercizi riportano, in genere, matrici triangolari di ordine $3$.

• Per sapere se è invertibile, ci basta assicurarci che sia non singolare, quindi che il determinante non sia nullo. Essendo triangolari, ci basta moltiplicare tra loro i valori della diagonale.
• Per scoprire se è diagonalizzabile dobbiamo costruire il polinomio caratteristico e verificare che tutti i suoi autovalori siano regolari. Per il procedimento, far riferimento all’esercizio analogo nella sezione di pratica.

Matrici ortogonali

Per verificare l’ortogonalità della matrice devono essere presenti queste due caratteristiche:

1. Dev’essere simmetrica
2. Dev’essere non singolare

Applicazioni lineari

Per risolvere questi esercizi bisogna costruire la matrice di rappresentazione

• Se $L:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$, la matrice di rappresentazione sarà di ordine $m\times n$
• Per costruirla bisogna sfruttare i dati forniti in cui compaiono come input le basi canoniche, dato che permettono di isolare degli elementi dell’eventuale sistema risolutivo.
  • A seconda dell’indice della base canonica, possiamo impostare la sua immagine come colonna della matrice, rispettandone l’indice (esempio: se la base canonica è ${\underline{e}}_2$, l’indice è $2$, e la sua immagine sarà la seconda colonna della matrice di rappresentazione)
  • Nei casi più complessi possiamo fare deduzioni tramite combinazioni lineari che ci riportano alle basi canoniche che ci mancano
  • In caso rimanga una combinazione lineare di basi canoniche non semplificabili, è possibile trovare dei valori validi tramite un sistema, fissando i parametri liberi.

Sistema lineare

• Calcolo il determinante di $A$, per avere informazioni sul rango.
• Mi ritroverò come risultato un polinomio con $k$ come incognita. Ponendolo uguale a $0$, troverò i valori critici.
• Per ogni valore critico, costruisco la matrice completa $(A|B)$, e applico una riduzione a scala. Dal numero di pivot, dedurrò il rango.
  • Se il rango della matrice $A$ è diverso da quello della matrice completa, il sistema non è risolvibile (Teorema fondamentale di Rouché - Capelli).
• Calcolo la dimensione dello spazio delle soluzioni.
• Per scoprire la varietà delle soluzioni, riscrivo la matrice applicando il parametro $k$ indicato e costruisco il sistema di equazioni $AX=B$
• Grazie alla dimensione dello spazio delle soluzioni trovata precedentemente, possiamo dedurre quanti parametri liberi serviranno per la rappresentazione parametrica.
• Risolto il sistema, avremo un’equazione per ogni incognita, nella forma $x=c+at$ dove:
  • $x$ è l’incognita
  • $c$ è il termine noto
  • $a$ è il coefficiente del parametro $t$
• Per costruire la rappresentazione parametrica, scriviamo la combinazione lineare tra un vettore rappresentante i termini noti e i vettori rappresentanti i coefficienti dei parametri

Analisi matrice quadrata

Polinomio caratteristico e autovalori

• Sottrai $t{I}_n$ alla matrice e calcola il determinante. Il risultato sarà il polinomio caratteristico con variabile $t$. Le radici corrispondono agli autovalori, e il loro grado alla molteplicità algebrica.
• Date le proprietà delle molteplicità geometriche, ha senso discutere, in determinati casi, solo gli autovalori non semplici.
  • Sostituisci l’autovalore al parametro $t$ e ricalcola la matrice
  • Applica una riduzione a scala. Il numero di pivot corrisponderà al rango
  • La molteplicità geometrica è $m_{\lambda }=n-rk{A}_{\lambda }$ (teorema delle dimensioni)

Autospazi

• Troviamo gli autovettori relativi agli autovalori. La molteplicità geometrica ci indicherà quanti autovettori saranno presenti per ogni autospazio, e di conseguenza la quantità di parametri liberi di cui avremo bisogno
• Per ogni autovalore:
  • Sostituisci l’autovalore al parametro $t$ e ricalcola la matrice
  • Risolvi il sistema, impostando il giusto numero di parametri
  • Trovati gli autovettori, possiamo costruire una base dell’autospazio fissando i parametri con un valore che non sia $0$ (che è banale). In genere va bene $1$

Diagonalizzazione

• Controlla se la matrice è diagonalizzabile tramite i criteri
• Se è diagonalizzabile:
  • Costruisci la matrice di cambiamento di base $N$, mettendo come colonne gli autovettori trovati (se un autovalore ha più di un autovettore associato, devono essere adiacenti). Gli autovettori devono essere linearmente indipendenti, quindi vanno scelti dei parametri adeguati.
  • Verifica che sia invertibile (il determinante dev’essere diverso da $0$). In caso contrario, cambia i parametri e riprova.
  • Calcola la matrice diagonale: $D=N^{-1}AN$. Ti servirà anche calcolare l’inversa di $N$.
    • Se la matrice $N$ è simmetrica, la sua inversa è uguale alla trasposta
• Se non è diagonalizzabile:
  • Ti verrà chiesto di trovare una matrice con lo stesso polinomio caratteristico, ma che non sia simile ad $A$. Ti basterà creare una matrice diagonale mettendo gli autovalori come valori della diagonale, rispettandone la molteplicità algebrica.

Rette e piani

Retta passante per due punti e direttore

• Per trovare il direttore, ci basta eseguire una sottrazione tra i due punti ($B-A$).
• Per trovare la forma parametrica della retta passante per i due punti, costruiamo il sistema $\underline{x}=A+t\underline{d}$
• Fissando $t$, troveremo, al più, due equazioni lineari, da porre uguali a $0$. Ciò costituirà l’equazione cartesiana della retta.

Intersezione tra piano e retta

• Se la retta non giace totalmente sul piano, l’intersezione corrisponderà con un punto. Basta costruire un sistema contenente l’equazione cartesiana della retta e del piano dato.
• In genere vengono forniti piani passanti dall’origine, della forma $xOy,xOz,yOz$. L’equazione cartesiana è data semplicemente ponendo uguale a $0$ la coordinata mancante nel simbolo del piano (esempio: $xOy$ corrisponde a $z=0$).

Piano ortogonale a una retta e passante per un punto

• Per trovare il piano ortogonale a una retta possiamo trattare come vettore normale il direttore della retta.
• L’equazione cartesiana del piano può essere trovata ponendo il prodotto scalare tra il vettore normale e un qualsiasi vettore appartenente al piano uguale a $0$. Dato che avremo già a disposizione un punto appartenente al piano, possiamo trovare il direttore della retta passante tra un punto qualsiasi $X$ e il punto già noto, come nel primo step. La formula sarà: ${\overrightarrow{n}}_{\pi }(X-P)=0$.

Equazione cartesiana del piano contenente due rette

• Per trovare il piano contenente le due rette possiamo sfruttare ancora la proprietà del vettore normale: entrambe le rette avranno un direttore che, posto in prodotto scalare col vettore normale, restituirà 0. Per trovare il vettore normale, quindi, ci basta costruire un sistema ponendo, per ogni retta, il prodotto tra un vettore generico di coordinate e il vettore di coefficienti del suo direttore uguale a $0$.
• Trovato il vettore normale e dato un punto appartenente al piano, possiamo utilizzare nuovamente la formula dello step precedente.

Verifica insieme di soluzioni (sistemi)

Rette

L’equazione cartesiana della retta si presenta come l’intersezione di due piani. Dobbiamo quindi verificare se:

• Il sistema presenta più di una soluzione
• I piani presenti nel sistema si intersecano

Per verificarlo, possiamo eseguire una riduzione in scala sulla matrice completa costruita dal sistema, e verificare che il rango della matrice e della matrice completa coincidano.

Piani

Se si presenta come un sistema con una sola soluzione, allora è sicuramente un piano. In caso ci siano più soluzioni, molto probabilmente è una retta, ma c’è la possibilità che siano due piani coincidenti. Basta controllare che le equazioni siano inearmente dipendenti.