Rango

Chiamiamo rango di una matrice $A\in {\mathbb{M}}_{\mathbb{R}}(k,n)$ la dimensione dello span delle sue colonne: $rkA=\dim Span(A^1,\dots ,A^n)$

Proprietà

1. $rkA\le k$
2. $rkA\le n$
3. $rkA\le \min (k,n)$
4. $rkA=n⟹\{A^1,\dots ,A^n\}$ linearmente indipendenti
5. $rkA=k⟹\{A^1,\dots ,A^n\}$ generatori di ${\mathbb{R}}^k$
6. $$\begin{gathered} k=n, \\ rkA=n=k⟺\{A^1,\dots ,A^n\} \end{gathered}$$ linearmente dipendenti e generatori ${\mathbb{R}}^n⟺$ base di ${\mathbb{R}}^n⟺\det A\ne 0$ (matrice non singolare)

Il rango, nelle matrici di rappresentazione, indica la dimensione delle immagini dell’applicazione lineare associata.