Teorema di rappresentazione

Dati due SVR $\mathbb{V}$ e $\mathbb{W}$ di dimensione rispettivamente $n$ e $k$ e l’applicazione lineare $L:\mathbb{V}\to \mathbb{W}$, esiste una sola matrice tale che l’espressione di $L$ in coordinate è la seguente: $Y=AX$. Essa è detta matrice di rappresentazione.

• $X=[\underline{v}{]}_{{\mathbb{B}}_{\mathbb{V}}}$
• $Y=[L(\underline{v}){]}_{{\mathbb{B}}_{\mathbb{W}}}$ $A=[[L]{]}_{{\mathbb{B}}_{\mathbb{V}},{\mathbb{B}}_{\mathbb{W}}}=([L({\underline{v}}_1){]}_{{\mathbb{B}}_{\mathbb{V}}}|\dots |[L({\underline{v}}_n){]}_{{\mathbb{B}}_{\mathbb{V}}})$

A coppie di basi diverse corrisponde sempre una matrice rappresentativa diversa.