Determinante

Il determinante di una matrice quadrata, in modo generale, si può calcolare fissando uno dei due indici:

• $$\begin{gathered} \sum _{i=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{i,j}|A_{[i,j]}| \\ \text{j fissato} \end{gathered}$$
• $$\begin{gathered} \sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}{a}_{i,j}|A_{[i,j]}| \\ \text{i fissato} \end{gathered}$$

Una matrice col determinante non nullo è detta non singolare.

Proprietà

1. Se una colonna di $A$ è moltiplicata per uno scalare, il determinante viene anch’esso moltiplicato per quello scalare.
2. Se due colonne vengono scambiate tra loro, il determinante cambia di segno.
3. Se una colonna di $A$ è somma di due vettori ($A^P=\underline{u}+\underline{v}$), $\det (A^1|\dots |\underline{u}+\underline{v}|\dots |A^n)=\det (A^1|\dots |\underline{u}|\dots |A^n)+\det (A^1|\dots |\underline{v}|\dots |A^n)$
4. Se due colonne sono uguali, il determinante è nullo.
5. Se una colonna è nulla, il determinante è nullo.
6. Se a una colonna aggiungiamo una combinazione lineare delle altre, il determinante non cambia.
   1. Se una colonna è combinazione lineare delle altre, il determinante è nullo.
   2. Se una colonna è multiplo di un’altra, il determinante è nullo.
7. Dire che le colonne di $A$ sono linearmente dipendenti equivale a dire che il determinante è nullo.

Tutte le proprietà elencate valgono anche per le righe.

Dall'ultima proprietà deduciamo che la non nullità del determinante, l' indipendenza lineare delle colonne e l'invertibilità della matrice sono tutte condizioni necessarie e sufficienti tra loro.