Analisi 1

Nozioni

• Trucchi algebrici
• Numero complesso
  • Coniugato del numero complesso
  • Reciproco del numero complesso
  • Formula generale risoluzione equazione complessa
• Proprietà dei logaritmi
• Angoli notevoli
• Formule trigonometriche
• Rapporto incrementale
• Formule di derivazione
• Derivate notevoli
• Sviluppi notevoli
• Resto di Peano
• Studio comportamento di una serie
• Integrale
  • Integrazione per parti
  • Integrazione per sostituzione
  • Scomposizione in fratti semplici
• Convergenza dell’integrale
  • Studio convergenza dell’integrale
• Equazione lineare
  • Equazione differenziale di primo ordine
  • Equazione differenziale di secondo ordine

Esercizi

Studio di funzione

• Studia l’annullamento e il segno della funzione
  • In caso di una frazione, studia il segno del numeratore e del denominatore
  • Può tornare utile controllare se è pari o dispari e studiarne la monotonia.
• Calcola i limiti agli estremi
• Analizza, se presenti, i punti di discontinuità
• Studia la derivata prima
  • Caratterizzazione della derivata prima
  • Incrociando le informazioni sui punti di massimo e di minimo e il segno della funzione, possiamo dedurre se essi sono relativi o assoluti.
  • Anche se la funzione è continua, può comunque presentare dei punti di non derivabilità, da analizzare
• Se necessario, studia la derivata seconda
  • Caratterizzazione della derivata seconda

Tangente di una funzione in un punto

Conoscendo la funzione, il punto $x_0$ e considerando la forma esplicita della retta, le uniche due incognite sono $q$ e $m$.

• $q$ equivale al valore della funzione in quel punto: $f(x_0)$
• $m$ equivale al coefficiente angolare della retta tangente a quel punto, che è uguale al valore che assume la derivata: $f^{\prime }(x_0)$

Sviluppo polinomio di Taylor - MacLaurin

1. Dato l’ordine $n$ e $k=0\dots n$, per ogni ordine che viene richiesto, studia:
   1. $f^{(k)}(x)$
   2. $f^{(k)}(x_0)$
   3. $a_k$
2. Metti insieme i vari componenti del polinomio: $T_{n,x_0}(x)=\sum _{k=0}^n=a_k(x-x_0{)}^k$

Equazione complessa

Se si presenta nella forma $x+iy=w$, basta isolare le parti reali e immaginare e calcolare $x$ e $y$ a sistema. In caso contrario, bisogna trovare le radici.

Teoria

• Teorema di Lagrange