Equazione differenziale di primo ordine

Lineare

y'(x) = a(x)y(x) + f(x)$$$$y(x) = y_{\text{om}}(x) + y_{\text{part}}(x) = ce^{A(x)} + C(x)e^{A(x)} Dove:

• $A^{\prime }(x)=a(x)$
• $C^{\prime }(x)e^{A(x)}=f(x)$

Casi particolari

• Coefficienti costanti: $a(x)=\lambda ⟹A(x)=\lambda x$
• Omogeneità: $f(x)=0⟹y_{\text{part}}=0$

Non lineare

$y^{\prime }(x)=a(x)b(y(x))$ $y(x)=B^{-1}(A(x)+c)$

Svolgimento

$$y^{\prime }=a(x)b(y)\frac{dy}{dx}=a(x)b(y)\frac{dy}{b(y)}=a(x)dx\int \frac{1}{b(y)}dy=\int a(x)dxB(y)=A(x)+c$$