Applicazione lineare

Sia data una matrice $A\in {\mathbb{M}}_{{\mathbb{R}}^n}(k,n)$; questa definisce un’applicazione $L_A:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^k$.

Proprietà

1. Distributività: $$\begin{gathered} \forall \\ {x}_1,x_2\in {\mathbb{R}}^n \\ {L}_A(x_1+x_2)=A(x_1+x_2)=A{x}_1+A{x}_2=L_A(x_1)+L_A(x_2) \end{gathered}$$
2. Omogeneità: $$\begin{gathered} \forall \\ X\in {\mathbb{R}}^n,\forall \\ \alpha \in \mathbb{R} \\ {L}_A(\alpha X)=A(\alpha X)=\alpha (AX)=\alpha L_A(X) \end{gathered}$$