Integrale

Data una funzione $f:\mathbb{I}\to \mathbb{R}$ con $\mathbb{I}$ intervallo limitato e $f$ limitata, $f$ è integrabile su $\mathbb{I}$¹ quando: $\sup A^{-}(s)=\inf A^{+}(s)={\int }_a^{b}f(x)dx$ con:

• $s\in \mathbb{S}$
• $\mathbb{S}$ insieme delle suddivisioni tra gli estremi di $\mathbb{I}$.

Le funzioni integrabili sono:

• tutte le continue, anche a tratti
• tutte le monotone, anche a tratti

Proprietà

1. L’integrale è un operatore lineare: ${\int }_a^b\alpha f(x)ds+\beta g(x)dx=\alpha {\int }_a^{b}f(x)dx+\beta {\int }_a^{b}g(x)dx$
2. Monotonia dell’integrale: $f\le g⟹{\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$
3. Orientamento dell’integrale: $|{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$

Footnotes

1. secondo Riemann ↩