Equazione differenziale di secondo ordine

$a{y}^{\prime \prime }+b{y}^{\prime }+cy=f(x)$

Soluzione omogenea

Scriviamo il suo polinomio caratteristico¹ $a{\lambda }^2+b\lambda +c=0$ e troviamone le radici.

• $\Delta >0⟹$ 2 radici distinte $y_1(x)=e^{{\lambda }_{1}x}{y}_2(x)=e^{{\lambda }_{2}x}$
• $\Delta =0⟹$ 2 radici coincidenti $y_1(x)=e^{\lambda x}{y}_2(x)=x{e}^{\lambda x}$
• $\Delta <0⟹$ 2 radici complesse e coniugate ${\lambda }_1={\lambda }_2⟹{\lambda }_1=\alpha +i\beta ,{\lambda }_2=\alpha -i\beta$ $y_1(x)=e^{\alpha x}\cos (\beta x)y_2(x)=e^{\alpha x}\sin (\beta x)$

$y_{om}(x)=y_1(x)+y_2(x)$

Soluzione particolare

Caso polinomiale ($f(x)=p_m(x)$)

La soluzione sarà polinomiale, e i gradi devono coincidere: $y_{\text{part}}(x)=q_k(x)$

• $c\ne 0$: $k=m⟹y_{\text{part}}(x)=q_m(x)$
• $c=0$
  • $b\ne 0$: $k=m+1⟹y_{\text{part}}(x)=x{q}_m(x)$
  • $b=0$: $k=m+2⟹y_{\text{part}}(x)=x^2{q}_m(x)$

Caso esponenziale ($f(x)=a{e}^{kx}$)

$y_{\text{part}}(x)=\alpha e^{kx}$

Caso trigonometrico ($f(x)=a\cos (bx)+b\sin (bx)$)

$y_{\text{part}}(x)=\alpha \cos (bx)+\beta \sin (bx)$

Footnotes

1. relativo alla sua matrice associata ↩