Scomposizione in fratti semplici

La scomposizione in fratti semplici ci permette di scomporre una funzione razionale in una somma di frazioni. Utile per il calcolo degli integrali, dato che si riconduce a una primitiva nota (il logarimto).

Esempio

$\frac{1}{x^3-3x^2+2x}=\frac{1}{x\cdot (x^2-3x+2)}$

Trovate le radici: $\frac{1}{(x-1)\cdot x\cdot (x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{x-2}$

Svolgendo il minimo comune denominatore e raccogliendo, troveremo: $\frac{1}{(x-1)\cdot x\cdot (x-2)}=\frac{x^2\cdot (A+B+C)+x(-3A-2B-C)+2A}{x\cdot (x-1)\cdot (x-2)}$ Risolviamo il seguente sistema: $\{\begin{array}{l}A+B+C=0\\ \\ -3A-2B-C=0\\ \\ 2A=1\end{array}$ E troviamo i fratti semplici: $\frac{\frac{1}{2}}{x}+\frac{-1}{x-1}+\frac{\frac{1}{2}}{x-2}$