Prodotto scalare

Dati due vettori $X,Y$ il loro prodotto scalare è $<X,Y>=X^{T}Y=x_1{y}_1+\cdots +x_n{y}_n$

Proprietà

1. Simmetrico (commutativa): $\underline{u}\underline{v}=\underline{v}\underline{u}$
2. Distributivo sull’addizione in $E_O^3$: $\underline{u}(\underline{v}\underline{w})=\underline{u}\underline{v}+\underline{u}\underline{w}$
3. Gode dell’omogeneità: $(\alpha \underline{u})\underline{v}=\underline{u}(\alpha \underline{v})=\alpha (\underline{u}\underline{v})$
4. Positività: $\underline{u}\underline{u}=||\underline{u}||||\underline{u}||\cos 0=||{\underline{u}}^2||$

Le proprietà 2 e 3 descrivono la linearità del prodotto scalare.

Ortogonalità

Due vettori son detti ortogonali se il loro prodotto scalare è $0$. I casi sono due:

• $\theta =\frac{\pi }{2}\Rightarrow \cos \theta =0$
• almeno uno dei due vettori è nullo

Dal secondo caso ne deriva che un vettore è sempre ortogonale col vettore nullo.