Concavità e convessità

$f:I\to \mathbb{R},I$ è un intervallo.

Convessità

$f$ è convessa quando $$\begin{gathered} f(t{x}_1+(1-t)x_0)\le tf(x_1)+(1-t)f(x_0),\forall \\ {x}_0,x_1\in I\text{ e }\forall \\ t\in (0,1) \end{gathered}$$

• $f$ è continua all’interno di $I$
• esistono massimo e minimo
• $f$ sta sopra a tutte le possibili tangenti in ogni punto di $I$

Concavità

$f$ è concava quando $$\begin{gathered} f(t{x}_1+(1-t)x_0)\ge tf(x_1)+(1-t)f(x_0),\forall \\ {x}_0,x_1\in I\text{ e }\forall \\ t\in (0,1) \end{gathered}$$

• $f$ è continua all’interno di $I$
• esistono massimo e minimo
• $f$ sta sotto a tutte le possibili tangenti in ogni punto di $I$

Per essere strettamente concava o convessa basta rendere strette le disuguaglianze.